Il pendolo di Foucault
	di Michele Bortolotti (Associazione Astrofili Trentini)

Il pendolo è uno strumento che ha contribuito alla conoscenza di numerosi fenomeni fisici ed il cui principio è ancor oggi utilizzato in numerosi apparecchi.

Galileo Galilei, osservando l'oscillazione dei lampadari della cattedrale di Pisa, riuscì a scoprire l'isocronismo delle oscillazioni del pendolo, il fatto cioè che a parità di lunghezza del filo le oscilazioni hanno tutte la stessa durata indipendentemente dall'ampiezza delle stesse e dal peso appeso al filo:

dove T indica il periodo dell'oscillazione, L la lunghezza del filo e g l'accelerazione di gravità.

In condizioni normali e per piccole oscillazioni si avrà quindi che un pendolo di 30 centimetri impiegherà per compiere un'oscillazione completa un tempo pari a

L'isocronismo delle oscilazioni ha fatto sì che il pendolo potesse venir utilizzato come strumento per la misura del tempo, i ben noti orologi a pendolo.

Come abbiamo visto dalla formula il periodo di oscillazione è dovuto anche all'accelerazione di gravità, per cui il pendolo viene utilizzato per rilevare anomalie gravitazionali dovute ad esempio a concentrazioni di massa sepolte sotto il suolo terrestre.

Lo studio del movimento del pendolo ha poi avviato nuovi studi sui moti ondulatori, come già anticipato da Galileo nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, dove lo scienziato pisano coglie la corrispondenza tra il moto del pendolo e le onde sonore.

Se questi utilizzi del pendolo sono ben noti, forse meno nota è la scoperta di Foucault riguardante questo strumento.

Jean Bernard Leon Foucault (1819-1868), figlio di un editore francese intraprese gli studi medici, ma in breve tempo cambiò i suoi interessi dedicandosi allo studio delle scienze fisiche presso l'osservatorio di Parigi. Noto oltre che per i suoi esperimenti col pendolo anche per l'invenzione del giroscopio, è considerato il più grande sperimentatore del secolo scorso.

Proprio questa sua attitudine all'osservazione e alla sperimentazione lo portò a scoprire nel 1851 dei movimenti imprevisti nel moto del pendolo; chiuso nel suo laboratorio, mentre stava armeggiando con un pendolo della lunghezza di due metri notò che il piano dell'oscillazione ruotava in senso orario; se ad esempio il peso veniva fatto oscillare in direzione est-ovest, dopo qualche tempo questo oscillava in direzione sudest-nordovest.

Incuriosito dallo strano comportamento Foucault costruì pendoli sempre più lunghi, allungando così il tempo di smorzamento delle oscillazioni e avendo più tempo a disposizione per osservare il fenomeno. Il fisico francese installò quindi nel Pantheon di Parigi un pendolo costituito da un cavo di 67 metri a cui era appesa una palla di cannone del peso di 28 chili; alla base del pendolo era posto uno strato di sabbia sul quale, grazie ad un indice di ferro che pendeva dalla palla, era possibile osservare la rotazione del piano di oscillazione.

Ancora oggi possiamo ripetere l'esperimento di Foucault grazie ai grandi pendoli posti negli atri nei grandi musei o direttamente nel Pantheon di Parigi dove dal 1995 è stata installata una copia del pendolo utilizzato nel 1851 dallo scienziato francese.

Vediamo quindi di ripercorrere le principali tappe del ragionamento dello studioso transalpino per scoprire cosa producesse quello strano movimento nelle oscillazioni del pendolo.

Cominciamo analizzando le forze che agiscono su un pendolo (figura 1); prima di tutto abbiamo la forza di gravità che attira verso il basso il peso del pendolo cercando di riportarlo al punto di equilibrio. Grazie al principio d'inerzia che si basa sulla prima legge di Newton secondo cui in assenza di forze esterne un corpo in quite rimane in quite ed uno in movimento continua a muoversi, una volta raggiunto il punto di equilibrio il pendolo lo supera proseguendo l'oscillazione.

Inerzia e gravità sono le forze principali che regolano l'oscillazione del pendolo, ma esse non inducono alcun movimento di tipo rotatorio. Vediamo quindi quali altre forze agiscono sul pendolo: la resistenza dell'aria fa sì che le oscillazioni diventino sempre più brevi fino a smorzarle completamente, mentre eventuali correnti d'aria nel luogo dell'esperimento potrebbero causare delle perturbazioni nelle oscillazioni, introducendo però un movimento caotico e non la rotazione che si osserva nell'esperimento di Foucault. Dobbiamo infine considerare che essendo il pendolo in un edificio ancorato alla superficie terrestre esso subirà una forza laterale dovuta alla rotazione terrestre che provocherà però un movimento laterale in direzione est pressoché impercettibile.

Abbiamo così analizzato tutte le forze che agiscono sul pendolo senza trovarne alcuna che induca una rotazione; il pendolo dovrebbe quindi oscillare sempre nella stessa direzione in apparente contrasto con quello che possiamo osservare.

Per capire il fenomeno dobbiamo fare uno sforzo ed immaginare di osservare l'esperimento da un luogo situato qualche chilometro al di sopra della superficie terrestre.

Immaginiamo poi che il museo nel quale è installato il pendolo si trovi esattamente al polo nord (figura 2). Come abbiamo visto non esiste alcuna forza che faccia ruotare il piano delle oscillazioni, infatti l'apparente rotazione non è dovuta al pendolo, ma alla rotazione della Terra e quindi del pavomento ad essa ancorato che si trova al di sotto del pendolo; mentre infatti le oscillazioni manterranno sempre lo stesso orientamento rispetto alle stelle fisse, la Terra ruoterà in senso antiorario, causando così l'apparente rotazione oraria del pendolo per gli osservatori che si trovano all'interno del museo. Al polo nord quindi il pendolo compirà una apparente rotazione completa in 24 ore.

Immaginiamo ora di spostare il nostro museo all'equatore (figura 3). In questo caso non vi sarà alcuna rotazione apparente, dato che il pendolo sarà sottoposto soltanto alla forza laterale dovuta alla rotazione della Terra che come abbiamo visto precedentemente non crea effetti macroscopici.

I due casi limite, polo ed equatore, sono facilmente interpretabili, mentre più difficoltoso è capire cosa avviene a latitudini intermedie (figura 4).

Per fare questo riconsideriamo cosa avviene al polo; qui come si è visto abbiamo una frequenza di rotazione terrestre (we) pari a 360°/23h56m. Scendendo lungo il globo possiamo scomporre questa frequenza di rotazione in due componenti, una perpendicolare e l'altra tangente alla superficie terrestre (figura 5). Con dei semplici calcoli trigonometrici si può stabilire che la componente orizzontale (we") è pari alla frequenza di rotazione per il coseno della latitudine

mentre la componente verticale (we') è pari alla frequenza di rotazione per il seno della latitudine

Come abbiamo già visto la componente orizzontale, che dal punto di vista astronomico può essere vista come la velocità di transito delle stelle sopra la nostra testa, non ha influenze macroscopiche sul moto del pendolo, mentre ha influenza sul moto verticale degli oggetti (ad esempio una pallina lasciata cadere dall'Empire State Building cadrà 5" ad est rispetto alla verticale).

L'effetto di precessione del pendolo è quindi dovuto esclusivamente alla componente verticale, che possiamo immaginare come la velocità di transito delle stelle all'orizzonte. Questo spiega perché la precessione è massima al polo (we' = we * 1) e nulla all'equatore (we' = we * 0 = 0). È quindi facile determinare di quanti gradi (n) ruota apparentemente il piano di oscillazione del pendolo ad una data latitudine applicando la formula

Così un pendolo di Foucault installato a Trento (latitudine = 46°03'59") ruoterà in 24 ore di un angolo pari a 258,9 cioè compirà una rivoluzione completa in 33,835 ore.

La scoperta degli effetti della componente verticale della rotazione terrestre non è però merito di Foucault, infatti già nel 1837 comparvero degli studi ad opera di Poisson e dell'allievo Coriolis sulle possibili deviazioni subite dai proiettili, da cui appunto il nome con cui è conosciuta oggi questa forza: forza di Coriolis.

La forza di Coriolis che matematicamente si calcola come

è una forza che agisce ad angolo retto rispetto alla velocità del corpo deviandolo verso destra nell'emisfero boreale e verso sinistra nell'emisfero australe.

Questa forza ha parecchi effetti pratici: le masse d'aria e d'acqua che si muovono nel nostro emisfero deviano verso destra al contrario di quanto accade nell'emisfero australe, effetto chiaramente visibile osservando le immagini satellitari o più semplicemente l'acqua chedefluendo da un lavandino o da una vasca da bagno si avvita in senso orario o antiorario a seconda dell'emisfero; anche le rotte aeree devono tener conto di questo effetto onde evitare di trovarsi spostati ad est o ad ovest rispetto alla meta prestabilita.

Abbiamo visto quindi che questa forza fittizia così importante per i trasporti e la meteorologia era già nota ai tempi di Foucault; quale fu allora il merito del fisico francese?

Il merito di Foucault fu quello di rendere visibili gli effetti della forza di Coriolis; il pendolo infatti accumula oscillazione dopo oscillazione gli effetti di questa forza disegnando una traiettoria che mostra chiaramente la deviazione verso destra di un corpo in movimento a causa della rotazione terrestre (figura 6).

Un altro grande merito di Foucault fu quello di aver dato prova al grande pubblico della rotazione terrestre. Ancora oggi, infatti, nonostante sia consolidato il fatto che il nostro pianeta ruoti su se stesso, può creare imbarazzo dover rispondere a chi ci chieda di dimostrarlo. Il pendolo di Foucault è lo strumento che ci permette, rimanendo chiusi in una stanza e senza bisogno di immagini satellitari, di fornire una prova evidente della rotazione terrestre.

È facile immaginare quanto questo strumento sarebbe tornato utile a Galileo nel confutare le tesi degli aristotelici. Lo scienziato italiano infatti ha passato la vita cercando questa prova senza mai trovarla, dovendo così ricorrere alle sue grandi doti di scienziato e sperimentatore per dimostrare attraverso l'esperienza pratica l'irrilevanza delle prove a favore dell'immobilità della Terra ("[...] senza verun intoppo discernerà la fallacità e l'equivocazione che faceva parer gli argomenti prodotti esser concludenti.")

Memorabili sono i passi del Dialogo in cui Galileo descrive la caduta di una pietra dall'albero di una nave in movimento ("[...] perché chiunque la farà, troverà l'esperienza mostrar tutto ‘l contrario di quel che viene scritto: cioè mostrerà che la pietra casca sempre nel medesimo luogo della nave, stia ella ferma o muovasi con qualsivoglia velocità. Onde, per esser la medesima ragione della Terra che della nave, dal cader la pietra sempre a perpendicolo al pie' della torre non si può inferir nulla del moto o della quiete della Terra.") o la non influenza del moto della Terra sui tiri a levante o su quelli a ponente ("[...] Ma ditemi: quando la carrozza corre, non si muovono ancora con la medesima velocità tutte le cose che son nella carrozza? [...] Ora applicate questo discorso all'artiglieria, e troverete che, muovasi la Terra o stia ferma, i tiri fatti dalla medesima forza hanno a riuscir sempre eguali, verso qualsivoglia parte indirizzati.").

Galileo pur non avendo scoperto la forza di Coriolis, come ben si intende da alcuni errori nei passi riguardanti gli argomenti sopra citati, fu comunque a un passo da questa scoperta, dato che oltre ai lampadari pisani possedeva fuori dalla finestra del suo studio presso l'università di Padova un grande pendolo della lunghezza di 10 metri a cui era appesa una palla da un chilo. Questo strumento avrebbe potuto rilevare l'effetto di Foucault e forse qualcosa fu percepito dallo scienziato pisano dato che negli scritti del suo allievo Viviani a proposito del pendolo si legge: "insensibilmente va traviando dalla prima sua gita".

L'esperimento di Foucault è comunque ancora attuale, basti ricordare il recente esperimento della NASA sulla possibile variazione nella precessione del pendolo durante le eclissi di sole, come riportato nel Notiziario AAT n° 18.

Per concludere un appunto riguardante il libro di Umberto Eco Il pendolo di Foucault che al contrario di quanto ci possa far credere il titolo non ha niente a che fare con il fisico francese, riguardando invece un omonimo filosofo transalpino del nostro secolo: Michel Foucault (1926-1984).