Notiziario n. 13 - Estate 1998 |
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| Risoluzione reale degli strumenti |
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di Massimo Zoggia (Gruppo Astrofili "G. e A. Bernasconi") |
È possibile risolvere due stelle che si trovano ad una distanza angolare inferiore alla risoluzione teorica del telescopio? La risposta dovrebbe essere negativa, ma le cose non stanno proprio così.
La risoluzione angolare r di un telescopio, espressa in secondi d'arco, è data dalla formula di Rayleigh:
1.22
p = ------ . 5500 . 10^-7 . 20265
d
dove d è il diametro del telescopio espresso in millimetri.
Quindi un telescopio di 8 pollici di diametro (203.2 mm) avrà una risoluzione di:
1.22
p = ------ . 5500 . 10^-7 . 20265 = 0.68"
203.2
per cui è teoricamente impossibile risolvere due stelle separate di 0.65".
La formula di Rayleigh è stata semplicemente presa come definizione della risoluzione di uno strumento con apertura circolare; è quindi una definizione basata su ipotesi teoriche e non su dati sperimentali. Vedremo quindi che applicando gli stessi criteri matematici a dei dati sperimentali è possibile dimostrare, sia teoricamente sia sperimentalmente, che il potere risolutivo di un telescopio è maggiore di quello dato dalla formula di Rayleigh.
La figura di diffrazione prodotta da un'apertura circolare di 203.2 mm di diametro è rappresentata nell'illustrazione seguente. Sulle ordinate è riportata l'intensità luminosa in funzione del diametro angolare dell'immagine (in secondi d'arco), riportato sulle ascisse.
Ovviamente se il diametro del telescopio raddoppia (16 pollici) la figura di diffrazione sarà larga la metà. L'immagine che si vede visualmente consiste in un disco centrale (disco di Airy), corrispondente al picco centrale (massimo), circondato da una serie di anelli (anelli di diffrazione) corrispondenti ai picchi laterali (massimi secondari).
Per un rifrattore, o in generale uno strumento non ostruito, il picco centrale raccoglie l'84% della luce che entra nello strumento, percentuale che diminuisce all'aumentare dell'ostruzione centrale. È proprio questo comportamento che rende le immagini di un rifrattore molto più contrastate e definite di quelle di un riflettore di pari diametro.
Se nel campo inquadrato ci sono due stelle, che per semplicità supporremo della stessa luminosità, la figura di diffrazione prodotta dallo strumento sarà la seguente.
Che riportiamo anche in proiezione tridimensionale in cui risultano ben visibili gli anelli di diffrazione.
Se, come in questo caso, le stelle sono ben separate, la figura di diffrazione totale sarà data dalla somma Itot(r) delle due figure di diffrazione.
Il vero problema sorge quando le due stelle non sono più ben separate; infatti, avvicinando le due stelle, la curva di diffrazione totale Itot(r), e quindi l'intensità luminosa, tende ad innalzare il punto di minimo tra le due stelle.
Quando il massimo della figura di diffrazione di una stella si sovrappone al bordo del disco di Airy dell'altra, le due stelle si trovano, per definizione, al limite teorico di risoluzione del telescopio. Infatti, la formula di Rayleigh dà proprio il raggio angolare del disco di Airy. Nelle illustrazioni successive sono rappresentate, in proiezione tridimensionale e bidimensionale, le figure di diffrazione prodotte dalle due stelle.
Da quest'ultima figura si nota chiaramente che la curva relativa all'intensità totale ha ancora un minimo tra le due stelle, quindi le stelle sono ancora ben separabili.
Ma allora, qual è la risoluzione effettiva e reale di un telescopio? Applicando la formula sperimentale di Dawes, si ottiene:
4.56
p = ------
d
dove d è il diametro dello strumento espresso in pollici.
La formula viene spesso riportata anche per i diametri espressi in millimetri dalla formula:
116
p = -----
d
Consideriamo quindi due stelle poste al limite di risoluzione del telescopio dato dalla formula di Dawes.
Le luce proveniente dalle due stelle forma un'immagine di diffrazione riportata in figura. Di conseguenza, l'intensità luminosa osservata è data dalla somma delle due intensità luminose. Come è possibile notare, in questo caso l'intensità totale non presenta alcun minimo tra le due stelle, anzi, in tale punto risulta perfettamente piatta, quindi le due stelle si trovano separate esattamente di un valore pari alla risoluzione del telescopio!
In conclusione, utilizzando le formule matematiche e le funzioni che esprimo la figura di diffrazione prodotta da un'apertura circolare, è stato possibile dimostrare che la risoluzione reale di un telescopio è data dalla formula di Dawes e non da quella di Rayleigh. Inoltre, benché la formula di Dawes sia stata ricavata da un'analisi di dati sperimentali, abbiamo dimostrato che è possibile giungere alla medesima conclusione non solo con una valutazione puramente teorica, ma utilizzando proprio gli stessi calcoli che ci permettono di determinare la dimensione angolare del disco di Airy.
Allora la formula di Rayleigh è da considerarsi sbagliata? L'errore non è da ricercarsi nella formula, ma nell'aver stabilito come "irrisolvibili" due stelle che si trovino all'interno del reciproco disco di Airy. Naturalmente, la differenza tra la risoluzione di Rayleigh e quella di Dawes non è poi così enorme, tuttavia differisce di un 15-20%. Applicando le due formule a strumenti di vario diametro otteniamo i risultati riportati nella tabella seguente.
Risoluzione o definizione?
Se con un telescopio di 8 pollici è possibile risolvere due stelle separate da solo 0.57", la stessa risoluzione vale per i dettagli della Luna e dei pianeti? Le cose funzionano anche meglio!
Il problema fondamentale è capire la differenza tra risoluzione e definizione. La risoluzione si riferisce alla capacità di separare due stelle, la definizione è la capacità di vedere i dettagli della Luna o dei pianeti. Se due stelle separate di 0.68" sono ancora risolvibili significa che è possibile vedere una zona meno luminosa tra di esse (come abbiamo visto nei grafici delle intensità), quindi in uno spazio di 0.68" si vedono ben 3 oggetti (2 stelle e una zona scura)! Allora possiamo dire che la definizione del nostro 20 cm è di 0.23"? Le cose non stanno proprio così, soprattutto perché è difficile trovare dettagli planetari con un contrasto paragonabile a quello delle stelle con il fondo cielo, tuttavia, per alcuni dettagli lunari molto contrastati è possibile spingersi fino a 0.30", equivalenti ad una dimensione di solo 600 metri sulla superficie lunare!
In ogni caso, soprattutto a causa del seeing, con un diametro doppio non è possibile vedere dettagli grandi la metà, come del resto non è possibile raggiungere la risoluzione teorica di 0.02" del telescopio di Monte Palomar.
Una sfida? Sulla superficie lunare si provi a cercare il "ruscello" in fondo alla Vallis Alpina: la sua larghezza varia da 0.27" a 0.35"! È una bella sfida!
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